Materi dan Soal ASTS Matematika Kabupaten Wonogiri

 

MATERI PSTS GASAL MATEMATIKA KELAS VIII

A. BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

1. Pengertian Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat adalah bentuk perkalian berulang.

$$a^n=\underset{n\text{ faktor}}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}}$$

Keterangan:

• $a$ = basis/pokok

• $n$ = eksponen/pangkat

Contoh:

$$2^4=2\times 2\times 2\times 2=16$$$$(-3{)}^3=(-3)\times (-3)\times (-3)=-27$$

---

2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Sifat	Rumus
Perkalian pangkat	$a^m\times a^n=a^{m+n}$
Pembagian pangkat	$a^m:a^n=a^{m-n}$
Pangkat dari pangkat	$(a^m{)}^n=a^{m\times n}$
Pangkat dari perkalian	$(ab{)}^n=a^n\times b^n$
Pangkat dari pembagian	${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$
Pangkat nol	$a^0=1,a\mathrm{\ne }0$
Pangkat negatif	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Pangkat pecahan	$a^{m\mathrm{/}n}=\sqrt[n]{a^m}$

Contoh:

$$2^{-3}\times 2^{-2}:2^{-1}=2^{-3+(-2)-(-1)}=2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$$

---

3. Bentuk Akar

Bentuk akar adalah kebalikan dari bilangan berpangkat pecahan.

$$\sqrt{a}=a^{1\mathrm{/}2}$$$$\sqrt[n]{a^m}=a^{m\mathrm{/}n}$$

Sifat-sifat bentuk akar:

$$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$$$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$$$a\sqrt{b}\times c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd}$$

Contoh menyederhanakan:

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2}$$

Contoh penjumlahan:

$$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$$

Contoh perkalian:

$$3\sqrt{2}\times 5\sqrt{8}=15\sqrt{16}=15\times 4=60$$

---

4. Merasionalkan Penyebut

Merasionalkan berarti menghilangkan bentuk akar pada penyebut.

Bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$:

$$\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$$

Bentuk $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$:

$$\frac{a}{b+\sqrt{c}}\times \frac{b-\sqrt{c}}{b-\sqrt{c}}=\frac{a(b-\sqrt{c})}{b^2-c}$$

Contoh:

$$\frac{4}{3+\sqrt{5}}=\frac{4(3-\sqrt{5})}{9-5}=\frac{4(3-\sqrt{5})}{4}=3-\sqrt{5}$$

---

5. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1:
Tentukan hasil dari $(-2{)}^1+(-2{)}^2+(-2{)}^3+(-2{)}^4$.

Penyelesaian:

$$(-2)+4+(-8)+16=10$$

Contoh 2:
Tentukan nilai dari ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}$.

Penyelesaian:

$${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}={\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}$$

Contoh 3:
Sederhanakan $\sqrt{9+4\sqrt{5}}$.

Penyelesaian:

$$9+4\sqrt{5}=(2+\sqrt{5}{)}^2$$

Jadi:

$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}=2+\sqrt{5}$$

---

B. POLA DAN BARISAN BILANGAN

1. Pola Bilangan

Pola bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki aturan tertentu.

Contoh pola:

• Pola bilangan ganjil: $1,3,5,7,\dots$

• Pola bilangan genap: $2,4,6,8,\dots$

• Pola persegi: $1,4,9,16,\dots$

• Pola segitiga: $1,3,6,10,\dots$

---

2. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan yang selisih dua suku berurutan selalu tetap.

$$U_1=a$$$$b=U_n-U_{n-1}$$

Rumus suku ke-$n$:

$$U_n=a+(n-1)b$$

Rumus jumlah $n$ suku pertama:

$$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$$

atau

$$S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$$

Contoh:
Barisan $4,7,10,13,\dots$

$$a=4,b=3$$$$U_n=4+(n-1)3=3n+1$$

Contoh soal cerita:
Seutas kawat dipotong menjadi 6 bagian dengan panjang membentuk barisan aritmetika. Potongan terpendek 8 cm dan terpanjang 28 cm. Tentukan panjang kawat mula-mula.

Penyelesaian:

$$a=8,U_6=28$$$$U_6=a+5b$$$$28=8+5b\Rightarrow b=4$$$$S_6=\frac{6}{2}(8+28)=3\times 36=108$$

Jadi, panjang kawat mula-mula 108 cm.

---

3. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang perbandingan dua suku berurutan selalu tetap.

$$r=\frac{U_n}{U_{n-1}}$$

Rumus suku ke-$n$:

$$U_n=a\times r^{n-1}$$

Contoh:

• $3,6,12,24,\dots$ → $r=2$

• $2,6,18,54,\dots$ → $r=3$

• $80,40,20,10,\dots$ → $r=\frac{1}{2}$

Contoh soal amoeba:
Dua peneliti mengembangkan amoeba. Jumlah amoeba semula 10. Peneliti pertama membelah setiap 20 menit, peneliti kedua setiap 30 menit. Setelah 2 jam, amoeba peneliti pertama menjadi 640. Tentukan banyak amoeba peneliti kedua setelah 2 jam.

Penyelesaian:
2 jam = 120 menit.
Peneliti kedua membelah setiap 30 menit, sehingga:

$$\frac{120}{30}=4\text{ kali membelah}$$

Banyak amoeba:

$$10\times 2^4=10\times 16=160$$

Jadi, banyak amoeba peneliti kedua adalah 160.

---

4. Segitiga Pascal

Segitiga Pascal memiliki pola bilangan sebagai berikut:

Baris ke-1: $1$
Baris ke-2: $11$
Baris ke-3: $121$
Baris ke-4: $1331$
Baris ke-5: $14641$
Baris ke-6: $15101051$

---

5. Pola Konfigurasi Objek

Contoh pola lidi membentuk segitiga:

• Pola 1 = 3 lidi

• Pola 2 = 5 lidi

• Pola 3 = 7 lidi

Maka:

$$U_n=2n+1$$

Pola ke-10:

$$U_{10}=2(10)+1=21$$

Jadi, diperlukan 21 lidi.

---

C. RANGKUMAN RUMUS PENTING

Materi	Rumus
Pangkat	$a^n=a\times a\times \cdots \times a$
Pangkat negatif	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Pangkat nol	$a^0=1$
Akar	$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$
Aritmetika	$U_n=a+(n-1)b$
Jumlah aritmetika	$S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$
Geometri	$U_n=a\times r^{n-1}$
Rasio geometri	$r=\frac{U_n}{U_{n-1}}$

---

D. TIPS MENGERJAKAN SOAL PSTS

1. Hafalkan sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar.

2. Bedakan barisan aritmetika dan geometri dari pola selisih atau perbandingannya.

3. Untuk soal cerita, tulis dulu apa yang diketahui: $a$, $b$, $r$, $n$, atau $U_n$.

4. Cek kembali tanda negatif pada bilangan berpangkat.

5. Latih soal merasionalkan penyebut dan menyederhanakan akar.

A. Pilihan Ganda (PG)

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat.

1. Hasil dari $(-2{)}^1+(-2{)}^2+(-2{)}^3+(-2{)}^4$ adalah …
   A. 8
   B. 10
   C. 12
   D. $-10$

2. Nilai dari ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}$ adalah …
   A. $\frac{9}{16}$
   B. $\frac{16}{9}$
   C. $-\frac{16}{9}$
   D. $-\frac{9}{16}$

3. Hasil dari $2^{-3}\times 2^{-2}:2^{-1}$ adalah …
   A. $\frac{1}{16}$
   B. $\frac{1}{8}$
   C. 8
   D. 16

4. Bentuk sederhana dari $\sqrt{9+4\sqrt{5}}$ adalah …
   A. $3+\sqrt{5}$
   B. $2+\sqrt{5}$
   C. $2+\sqrt{3}$
   D. $1+\sqrt{5}$

5. Tabungan Dimas hari pertama Rp5.000, hari kedua Rp8.000, hari ketiga Rp11.000, dan seterusnya. Dua suku berikutnya adalah …
   A. Rp13.000 dan Rp15.000
   B. Rp14.000 dan Rp17.000
   C. Rp14.000 dan Rp18.000
   D. Rp15.000 dan Rp18.000

6. Perhatikan pola lidi berikut:
   Pola 1 = 3 lidi, Pola 2 = 5 lidi, Pola 3 = 7 lidi, dan seterusnya.
   Banyak lidi yang diperlukan untuk membuat pola ke-10 adalah …
   A. 19
   B. 20
   C. 21
   D. 23

7. Rumus suku ke-$n$ dari barisan $4,7,10,13,\dots$ adalah …
   A. $U_n=3n-1$
   B. $U_n=3n+1$
   C. $U_n=4n$
   D. $U_n=n+3$

8. Bilangan-bilangan pada baris ke-5 segitiga Pascal adalah …
   A. 1 5 10 10 5 1
   B. 1 4 6 4 1
   C. 1 4 6 4
   D. 1 3 3 1

9. Pada gedung pertunjukan, baris ke-8 memiliki 42 kursi. Jika beda banyak kursi tiap baris adalah 3, banyak kursi pada baris pertama adalah …
   A. 18
   B. 21
   C. 24
   D. 27

10. Seutas kawat dipotong menjadi 6 bagian dengan panjang membentuk barisan aritmetika. Potongan terpendek 8 cm dan terpanjang 28 cm. Panjang kawat mula-mula adalah …
    A. 84 cm
    B. 96 cm
    C. 108 cm
    D. 120 cm

---

B. Pilihan Ganda Kompleks (PGK)

Pilihlah semua jawaban yang benar. Jawaban benar bisa lebih dari satu.

1. Perhatikan bentuk $2^3\times 3^2\times 5^0$. Pernyataan yang benar adalah …
   A. Nilainya 72.
   B. Bentuk sederhananya $2^3\times 3^2$.
   C. $5^0=0$.
   D. Nilainya 90.

2. Sebuah kebun berbentuk persegi panjang memiliki panjang $\sqrt{12}$ meter dan lebar $\sqrt{3}$ meter. Pernyataan yang benar tentang luas kebun adalah …
   A. Luas $=\sqrt{36}{\text{ m}}^2$.
   B. Luas $=6{\text{ m}}^2$.
   C. Luas $=\sqrt{15}{\text{ m}}^2$.
   D. Luas $=36{\text{ m}}^2$.

3. Diberikan tiga kartu bilangan akar: $\sqrt{8}$, $\sqrt{18}$, dan $\sqrt{32}$. Pernyataan yang benar adalah …
   A. $\sqrt{8}<\sqrt{18}$
   B. $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
   C. $\sqrt{8}+\sqrt{18}=\sqrt{26}$
   D. $\sqrt{32}-\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

4. Tiga suku berurutan $2y+1$, $3y-2$, dan $y+7$ membentuk barisan aritmetika. Pernyataan yang benar adalah …
   A. $y=4$
   B. Suku pertama adalah 9.
   C. Beda barisan adalah 2.
   D. Beda barisan adalah 1.

5. Perhatikan pola bilangan berikut.
   (i) $3,6,12,24$
   (ii) $2,6,18,54$
   (iii) $80,40,20,10$
   (iv) $5,10,15,20$
   Pola yang merupakan barisan geometri adalah …
   A. (i)
   B. (ii)
   C. (iii)
   D. (iv)

---

C. Menjodohkan

Pasangkan pernyataan di kolom kiri dengan jawaban yang tepat di kolom kanan.

No	Pernyataan	Jawaban
1	Bentuk sederhana dari $\sqrt{72}$	A. 16
2	Hasil dari $2^5\times 2^3:2^4$	B. $68,60$
3	Bentuk rasional dari $\frac{4}{3+\sqrt{5}}$	C. $6\sqrt{2}$
4	Dua suku berikutnya dari $100,92,84,76,\dots$	D. 30
5	Suku ke-6 barisan aritmetika dengan suku pertama 10 dan beda 4	E. $3-\sqrt{5}$

---

D. Isian

Isilah dengan jawaban yang singkat dan tepat.

1. Hasil dari $3\sqrt{2}\times 5\sqrt{8}$ adalah …

2. Jumlah pekerja pada hari ke-$n$ dirumuskan $U_n=4n+5$. Banyak pekerja pada hari ke-12 adalah …

3. Diketahui rumus suku ke-$n$ suatu barisan $U_n=3n+2$. Selisih $U_{10}-U_6$ adalah …

---

E. Uraian

Jawablah dengan langkah-langkah yang jelas.

1. Sebuah kolam berbentuk persegi panjang memiliki panjang ${27}^{1\mathrm{/}3}$ meter dan lebar $8^{2\mathrm{/}3}$ meter. Tentukan luas kolam tersebut.

2. Dua peneliti mengembangkan amoeba. Jumlah amoeba semula 10. Peneliti pertama membelah setiap 20 menit, sedangkan peneliti kedua membelah setiap 30 menit. Setelah 2 jam, amoeba peneliti pertama menjadi 640. Tentukan banyak amoeba peneliti kedua setelah 2 jam.